Eliminar b₀: Multiplicar (1) por 93 (para igualar 465 en (2))? Mejor usar (1) para despejar b₀.
De (1): 5b₀ = 670 - 465b₁ - 40b₂ → b₀ = 134 - 93b₁ - 8b₂
Sustituir en (2):
67350 = 465(134 - 93b₁ - 8b₂) + 46825b₁ + 3160b₂
67350 = 62310 - 43245b₁ - 3720b₂ + 46825b₁ + 3160b₂
67350 = 62310 + (46825-43245)b₁ + (3160-3720)b₂
67350 = 62310 + 3580b₁ - 560b₂
Restar 62310: 5040 = 3580b₁ - 560b₂ → dividir 20: 252 = 179b₁ - 28b₂ (A)
Sustituir b₀ en (3):
4580 = 40(134 - 93b₁ - 8b₂) + 3160b₁ + 418b₂
4580 = 5360 - 3720b₁ - 320b₂ + 3160b₁ + 418b₂
4580 = 5360 -560b₁ + 98b₂
Restar 5360: -780 = -560b₁ + 98b₂ → multiplicar -1: 780 = 560b₁ - 98b₂
Dividir 2: 390 = 280b₁ - 49b₂ (B)
[ \hatY = 12 + 0\cdot X_1 + 3.6 X_2 ]
Interpretación por ahora: El gasto en TV ((X_1)) no influye (coeficiente cero), pero cada unidad adicional en RRSS ((X_2)) incrementa las ventas en 3.6 miles de euros. Es decir, estamos ante un modelo de regresión simple disfrazado.
Nota: Esto ocurre por los datos elegidos didácticamente. En la vida real rara vez un coeficiente es exactamente cero. regresion lineal multiple ejercicios resueltos a mano
Para dos predictores, podemos resolver el sistema de ecuaciones normales:
Datos nuevos (y realistas):
Y = Precio de vivienda (miles $), X₁ = metros cuadrados, X₂ = antigüedad (años).
| i | Y | X₁ | X₂ | |---|----|----|----| | 1 | 120| 80 | 10 | | 2 | 150| 100| 5 | | 3 | 90 | 60 | 15 | | 4 | 200| 140| 2 | | 5 | 110| 85 | 8 |
El sistema es:
[ \begincases 4\beta_0 + 10\beta_1 + 7\beta_2 + 10\beta_3 = 55 \ 10\beta_0 + 30\beta_1 + 21\beta_2 + 30\beta_3 = 151 \ 7\beta_0 + 21\beta_1 + 18\beta_2 + 21\beta_3 = 113 \ 10\beta_0 + 30\beta_1 + 21\beta_2 + 30\beta_3 = 151 \endcases ]
Vemos que las ecuaciones 2 y 4 son iguales, por lo que tenemos infinitas soluciones (multicolinealidad). Elegimos una solución particular: hacemos (\beta_3 = 0).
Con (\beta_3=0), el sistema se reduce a:
(1) (4\beta_0 + 10\beta_1 + 7\beta_2 = 55)
(2) (10\beta_0 + 30\beta_1 + 21\beta_2 = 151)
(3) (7\beta_0 + 21\beta_1 + 18\beta_2 = 113) Eliminar b₀: Multiplicar (1) por 93 (para igualar
Resolvemos:
Multiplicamos (1) por 2.5: (10\beta_0 + 25\beta_1 + 17.5\beta_2 = 137.5)
Restamos de (2): ((10-10)\beta_0 + (30-25)\beta_1 + (21-17.5)\beta_2 = 151 - 137.5) ⇒ (5\beta_1 + 3.5\beta_2 = 13.5) (I)
Multiplicamos (1) por 1.75: (7\beta_0 + 17.5\beta_1 + 12.25\beta_2 = 96.25)
Restamos de (3): ((7-7)\beta_0 + (21-17.5)\beta_1 + (18-12.25)\beta_2 = 113 - 96.25) ⇒ (3.5\beta_1 + 5.75\beta_2 = 16.75) (II)
Resolvemos (I) y (II):
(I) × 3.5: (17.5\beta_1 + 12.25\beta_2 = 47.25)
(II) × 5: (17.5\beta_1 + 28.75\beta_2 = 83.75)
Restamos: ((28.75-12.25)\beta_2 = 83.75 - 47.25) ⇒ (16.5\beta_2 = 36.5) ⇒ (\beta_2 = 2.2121)
Luego (5\beta_1 + 3.5(2.2121)=13.5) ⇒ (5\beta_1 = 13.5 - 7.7424 = 5.7576) ⇒ (\beta_1 = 1.1515)
De (1): (4\beta_0 + 10(1.1515) + 7(2.2121) = 55)
(4\beta_0 + 11.515 + 15.4847 = 55) ⇒ (4\beta_0 + 27 = 55) ⇒ (4\beta_0 = 28) ⇒ (\beta_0 = 7)
Modelo elegido (con (\beta_3=0)): [ \hatY = 7 + 1.1515 X_1 + 2.2121 X_2 ] Para dos predictores, podemos resolver el sistema de
Nota: La multicolinealidad revela que (X_3) no aporta información adicional si ya tenemos (X_1) y (X_4)(??)… En este caso, (X_3) es combinación lineal.
✅ Lo Bueno (The Good):
⚠️ Lo Tedioso (The Bad):
❌ Lo Feo (The Ugly):
Problem: A researcher wants to predict exam scores ((Y)) based on hours studied ((X_1)) and sleep hours before the exam ((X_2)). Data from 5 students:
| Student | (X_1) (Study hours) | (X_2) (Sleep hours) | (Y) (Exam score) | |---------|------------------------|------------------------|--------------------| | 1 | 4 | 6 | 75 | | 2 | 6 | 5 | 85 | | 3 | 2 | 8 | 65 | | 4 | 5 | 7 | 80 | | 5 | 3 | 6 | 70 |
Problema: Se tienen datos de 5 empresas. Se quiere explicar las ventas anuales ((Y), en miles de euros) en función del gasto en publicidad en TV ((X_1), en cientos de euros) y el gasto en publicidad en redes sociales ((X_2), en decenas de euros).
| Empresa | (Y) (Ventas) | (X_1) (TV) | (X_2) (RRSS) | |---------|----------------|---------------|----------------| | 1 | 23 | 2 | 3 | | 2 | 26 | 3 | 4 | | 3 | 30 | 5 | 5 | | 4 | 34 | 6 | 6 | | 5 | 37 | 8 | 7 |
Objetivo: Encontrar (\hatY = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X_1 + \hat\beta_2 X_2)